代数基本定理（数学函数公式）

发布于 2026-02-05 23:21:01 阅读 112

本篇文章给大家谈谈代数基本定理，代数定理以及数学函数公式对应的基本知识点，希望对各位有所帮助，数学不要忘了收藏本站喔。函数

代数基本定理的证明

代数基本定理的证明如下：

代数拓扑方法：

视S2=C∪{ }SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{ SymboleB@}→S2=C∪{ SymboleB@}；

F（z）=f（z），代数定理z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。基本

由此可知，数学只要证明0∈ImF即可。函数

伯努利在1702 年的公式文章“关于积分学问题的解答”的开头得出一个结论：有理微积分总是可以约化为双曲线的求积（如果对数是实的）或圆的求积（如果对数是虚的）。

代数学基本定理是什么？

代数基本定理［Fundamental Theorem of Algebra］是指：对于复数域，每个次数不少于1的基本复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，数学一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，函数重根按重数计算。公式

这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗［1114-1185？］在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》［Lilavati］，这个词原意是「美丽」，也是他女儿的名称。

1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。

1637年笛卡儿［1596-1650］在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。

欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明［1814-1815，1816， 1848-1850］，而「代数基本定理」一名亦被认为是高斯提出的。

高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

代数学基本定理是什么？如何证明它？

代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）

证明过程：

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z| R时，就有：

高等代数理论基础75：代数基本定理的证明

引理：设f(x)是次数的复系数多项式,则

1. ,当时有

2. 在复平面上有最小值

证明：

1.设

令

则

当时,

即

故

若

则

则当时有

2. ,令

有 ,当时有

再取平面上闭区域

设复多项式

其中及都为的二元实系数多项式

是的连续函数

在闭区域上有极小值

即在中有极小值

即有 ,当时有

取及中较小的一个

即复平面上的最小值

代数基本定理：每个次数的复系数多项式必有复数根

证明：

设为一个复系数多项式

其中

在复平面上有最小值

下证

若不然,设

将表成的方幂和

其中

设

即

记

则

取

即为负实数

取充分小,

则

若 ,则无第二项

若 ,则

由充分小

与是最小值矛盾

即是的一个复数根

逻辑代数基本定律规则及常用公式

在四则运算中，我们知道有交换律、结合律以及分配律等。那么在逻辑运算中，也有它自己的基本定律，下面将介绍逻辑代数运算中的基本定理。

1.0、1定律

0、1定律描述的是单个变量A和0、1之间的运算规则。其中有以下四条定律：（1）A·0=0，即A和0相与始终为0；（2）A·1=A，即A与1相与结果为A；（3）A+0=A，即A和0相或结果为A；（4）A+1=1，即A和1相或始终为1。

2.重叠律

重叠率描述逻辑变量A和其自身的运算。（1）A·A=A，即A和自己相与等于它本身；（2）A+A=A，即A和自己相或亦等于它本身。

3.互补律

互补律描述A和自身的反变量¬A之间的关系。（1）A·¬A=0，即A和自身反变量相与始终为0；（2）A+¬A=1，即A和自身反变量相或始终为1。证明：由于A和¬A之间至少有一个为0，即二者不可能全为1，所以相与得0；同时，A和¬A之间至少有一个为1，满足或运算的“有1出1”，所以相或得0。

4.还原律

A的反变量再取反，等于本身，即¬(¬A)=A。

5.交换律

在此定律及之后的定律中，都将会涉及到两个及以上的逻辑变量。交换律即两个逻辑变量运算时交换位置，结果不变。（1）A·B=B·A，即A与B等于B与A；（2）A+B=B+A，即A或B等于B或A。

6.结合律

结合律指三个及以上变量相与或相或时，可以使任意两个变量先进行运算，再去和别的变量进行运算。（1）(A·B)·C=A·(B·C)，即A与B后再与C，等于B与C后再与A。（2）(A+B)+C=A+(B+C)，即A或B后再或C，等于B或C后再或A。

7.分配律

逻辑代数的分配律和四则运算的分配律很类似，但是有一些不同。（1）A·(B+C)=A·B+A·C，即A和B或C相与，等于A和B、C分别相与，然后进行或运算；（2）(A+B)·(A+C)=A+B·C，这一条定律显得有一些特殊，它的结果并不像四则运算中展开后有四项的形式，实际上，我们可以这样的得到：(A+B)·(A+C)=A·A+A·C+A·B+B·C=A+AC+AB+BC=A(1+B+C)+BC=A·1+BC=A+BC。这一定律对之后的逻辑函数化简有很大的帮助。

8.反演律

反演律描述的是两个变量的与、或运算以及他们取反后的运算之间的关系。（1）¬(AB)=¬A+¬B，如果用标准的横线来表示取反，我们可以将这个定律理解为“断开，变号”，即断开两个变量上面的非号，然后将两变量中间的与号变为或号；（2）¬(A+B)=¬A¬B，与上一个定律一样，也是“断开，变号”，只是这里是或号变与号。反演律可以用真值表来进行验证。

以上就是所有逻辑代数的基本定律。在化简逻辑函数时，除了需要应用以上的基本定律，还需要用到一些更加进阶的公式，这样我们化简时就可以更加的轻松。

（1）A+AB=A、A(A+B)=A

这两个个公式又称为“吸收律”，其中第一个表示两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。这说明变量A和包含A的和项相乘时，和项可以删去。第二个式子可以由第一个推出。

（2）A+¬AB=A+B

这个公式被称为补吸收律，即变量A和自身的反变量与其它变量的乘积相加时，等于自身加上其它变量。

（3）AB+¬AC+BC=AB+¬AC

这个公式并没有官方称呼，我愿称它为“消去律”，它表示乘积项相加时，若两个乘积项中分别包含A和¬A这两个因子，而这两个项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。

以上就是这篇文章的全部内容，下一篇文章我将会介绍逻辑函数的最小、最大项表达式，以及如何利用它们和上面介绍的公式对复杂的逻辑函数进行化简。